Permutasi dan Kombinasi

Permutasi adalah pengaturan elemen-elemen dari sebuah himpunan dimana urutan dari elemen elemen tersebut diperhatikan.

Secara matematik, dari sebuah himpunan yang mempunyai elemen sebanyak n, banyaknya permutasi dengan ukuran (permutasi dengan jumlah elemen) r ditulis sebagai P(n,r) atau _nP_r atau ⁿP_r.
Rumusnya adalah

P(n,r) = nPr = nPr =	n!
	(n - r)!

dimana n! (n faktorial) = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 dan 0! = 1.

Contoh, dari himpunan huruf-huruf {a,b,c}, permutasi-permutasi dengan ukuran 2 (ambil 2 elemen dari himpunan tersebut) adalah {a,b}, {b,a}, {a,c}, {c,a}, {b,c}, dan {c,b}. Perhatikan bahwa urutandari elemen-elemen itu adalah penting, dengan kata lain {a,b} adalah berbeda dengan {b,a}.
Banyaknya permutasi adalah 6.

P(3,2) = 3P2 = 3P2 =	3!
	(3 - 2)!
=	3 × 2 × 1
	1!
=	6
	1
=	6

Contoh lainnya: Berapa banyaknya cara untuk mengatur 5 buku yang berbeda di atas rak buku?

Jawaban: Di sini, n = 5 dan r = 5.
Jadi, ⁵P₅ = ^5!/_(5-5)! = ^5!/_0! = ^{(5 × 4 × 3 × 2 × 1)}/₁ = 120.

Seperti terlihat dari contoh di atas, jika n = r, rumus untuk ⁿP_r = n!.

Kombinasi adalah pengaturan elemen-elemen dari sebuah himpunan dimana urutan dari elemen elemen tersebut tidak diperhatikan.

Dari sebuah himpunan yang memiliki n elemen, banyaknya kombinasi yang berukuran (kombinasi dengan jumlah elemen) r ditulis sebagai C(n,r) atau _nC_r atau ⁿC_r.
Rumusnya adalah

C(n,r) = nCr = nCr =	n!
	r! (n - r)!

dimana n! (n faktorial) = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 dan 0! = 1.

Contoh, dari himpunan huruf-huruf {a,b,c} kombinasi-kombinasi yang berukuran 2 (ambil 2 elemen dari himpunan tersebut) adalah {a,b}, {a,c}, and {b,c}. Perhatikan bahwa urutan dari elemen-elemen itu tidak penting, dengan kata lain {b,a} adalah dianggap sama dengan {a,b}.
Banyaknya kombinasi adalah 3.

C(3,2) = 3C2 = 3C2 =	3!
	2! (3 - 2)!
=	3 × 2 × 1
	2 × 1 × 1!
=	6
	2
=	3

Contoh lainnya: Sebuah keranjang berisi sebuah apel, sebuah jeruk, sebuah jambu, dan sebuah pisang. Berapa banyaknya kombinasi yang terdiri dari 3 macam buah?

Jawaban: Di sini, n = 4 dan r = 3.
Jadi, ⁵C₅ = ^4!/_3!(4-3)! = ^{(4 × 3 × 2 × 1)}/_{(3 × 2 × 1) 1!} = ²⁴/₆ = 4.

Untuk kombinasi, jika n = r, banyaknya kombinasi selalu 1  

PERBEDAAN PERMUTASI DAN KOMBINASI

Pada permutasi urutan obyek XYZ; XZY; ZYX adalah berbeda, tetapi untuk kombinasi urutan tersebut dianggap sama. Dengan demikian kombinasi merupakan cara pemilihan obyek yang bersangkutan dengan tidak memperhatikan urutan dari obyek tersebut. Untuk menghitung banyaknya hasil kombinasi dari obyek dapat diformulasikan : nCx = (n!)/(x!(n-x)!) ; dimana n : banyaknya seluruh obyek yang ada, dan x : banyaknya obyek yang dikombinasikan.

Nilai x < n dan jika x = n formulasi tersebut menjadi nCn = 1. 

Contoh lain kombinasi :

Suatu warna tertentu dibentuk dari campuran 3 warna yang berbeda. Jika terdapat 4 warna, yaitu Merah, Kuning, Biru dan Hijau, maka berapa kombinasi tiga jenis warna yang dihasilkan.

Jawab : nCx = (n!)/(x!(n-x)!) ; 4C3 = (4!)/(3!(4-3)!) = 24/6 = 4 macam kombinasi (MKB, MKH, KBH, MBH). 

Dalam suatu pertemuan terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar mereka saling kenal maka mereka saling berjabat tangan. Berapa banyaknya jabat tangan yang terjadi.

Jawab : 10C2 = (10!)/(2!(10-2)!) = 45 jabat tangan 

Semoga bermanfaat..!!