Permutasi dan Kombinasi

Permutasi adalah pengaturan elemen-elemen dari sebuah himpunan dimana urutan dari elemen elemen tersebut diperhatikan.

Secara matematik, dari sebuah himpunan yang mempunyai elemen sebanyak n, banyaknya permutasi dengan ukuran (permutasi dengan jumlah elemen) r ditulis sebagai P(n,r) atau _nP_r atau ⁿP_r.
Rumusnya adalah

P(n,r) = nPr = nPr =	n!
	(n - r)!

dimana n! (n faktorial) = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 dan 0! = 1.

Contoh, dari himpunan huruf-huruf {a,b,c}, permutasi-permutasi dengan ukuran 2 (ambil 2 elemen dari himpunan tersebut) adalah {a,b}, {b,a}, {a,c}, {c,a}, {b,c}, dan {c,b}. Perhatikan bahwa urutandari elemen-elemen itu adalah penting, dengan kata lain {a,b} adalah berbeda dengan {b,a}.
Banyaknya permutasi adalah 6.

P(3,2) = 3P2 = 3P2 =	3!
	(3 - 2)!
=	3 × 2 × 1
	1!
=	6
	1
=	6

Contoh lainnya: Berapa banyaknya cara untuk mengatur 5 buku yang berbeda di atas rak buku?

Jawaban: Di sini, n = 5 dan r = 5.
Jadi, ⁵P₅ = ^5!/_(5-5)! = ^5!/_0! = ^{(5 × 4 × 3 × 2 × 1)}/₁ = 120.

Seperti terlihat dari contoh di atas, jika n = r, rumus untuk ⁿP_r = n!.

Kombinasi adalah pengaturan elemen-elemen dari sebuah himpunan dimana urutan dari elemen elemen tersebut tidak diperhatikan.

Dari sebuah himpunan yang memiliki n elemen, banyaknya kombinasi yang berukuran (kombinasi dengan jumlah elemen) r ditulis sebagai C(n,r) atau _nC_r atau ⁿC_r.
Rumusnya adalah

C(n,r) = nCr = nCr =	n!
	r! (n - r)!

dimana n! (n faktorial) = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 dan 0! = 1.

Contoh, dari himpunan huruf-huruf {a,b,c} kombinasi-kombinasi yang berukuran 2 (ambil 2 elemen dari himpunan tersebut) adalah {a,b}, {a,c}, and {b,c}. Perhatikan bahwa urutan dari elemen-elemen itu tidak penting, dengan kata lain {b,a} adalah dianggap sama dengan {a,b}.
Banyaknya kombinasi adalah 3.

C(3,2) = 3C2 = 3C2 =	3!
	2! (3 - 2)!
=	3 × 2 × 1
	2 × 1 × 1!
=	6
	2
=	3

Contoh lainnya: Sebuah keranjang berisi sebuah apel, sebuah jeruk, sebuah jambu, dan sebuah pisang. Berapa banyaknya kombinasi yang terdiri dari 3 macam buah?

Jawaban: Di sini, n = 4 dan r = 3.
Jadi, ⁵C₅ = ^4!/_3!(4-3)! = ^{(4 × 3 × 2 × 1)}/_{(3 × 2 × 1) 1!} = ²⁴/₆ = 4.

Untuk kombinasi, jika n = r, banyaknya kombinasi selalu 1  

PERBEDAAN PERMUTASI DAN KOMBINASI

Pada permutasi urutan obyek XYZ; XZY; ZYX adalah berbeda, tetapi untuk kombinasi urutan tersebut dianggap sama. Dengan demikian kombinasi merupakan cara pemilihan obyek yang bersangkutan dengan tidak memperhatikan urutan dari obyek tersebut. Untuk menghitung banyaknya hasil kombinasi dari obyek dapat diformulasikan : nCx = (n!)/(x!(n-x)!) ; dimana n : banyaknya seluruh obyek yang ada, dan x : banyaknya obyek yang dikombinasikan.

Nilai x < n dan jika x = n formulasi tersebut menjadi nCn = 1. 

Contoh lain kombinasi :

Suatu warna tertentu dibentuk dari campuran 3 warna yang berbeda. Jika terdapat 4 warna, yaitu Merah, Kuning, Biru dan Hijau, maka berapa kombinasi tiga jenis warna yang dihasilkan.

Jawab : nCx = (n!)/(x!(n-x)!) ; 4C3 = (4!)/(3!(4-3)!) = 24/6 = 4 macam kombinasi (MKB, MKH, KBH, MBH). 

Dalam suatu pertemuan terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar mereka saling kenal maka mereka saling berjabat tangan. Berapa banyaknya jabat tangan yang terjadi.

Jawab : 10C2 = (10!)/(2!(10-2)!) = 45 jabat tangan 

Semoga bermanfaat..!!

Read More

Manfaat Bioteknologi

Manfaat Bioteknologi - Bioteknologi memiliki manfaat yang cukup besar di bidang kesehatan antara lain dengan ditemukannya antibiotic dan vaksin. Berikut kegunaannya di berbagai bidang:

Kedokteran

Dalam bidang kedokteran Manfaat Bioteknologi digunakan untuk obat-obatan. Sejumlah besar obat-obatan berbasis bioteknologi kini tersedia untuk mengobati penyakit. Insulin, contohnya, sekarang tersedia untuk mengobati diabetes dan hormon pertumbuhan dipakai untuk mengobati gangguan pertumbuhan serta mempercepat penyembuhan luka. Bioteknologi memberikan metode baru untuk membuat vaksin bagi pencegahan penyakit seperti Hepatitis B dan untuk membantu mendeteksi dan mendiagnosis penyakit karena virus serta kelainan bawaan.

Antibiotik

Manfaat Bioteknologi juga sebagai Antibiotik penisilin yang dihasilkan oleh jamur Penicillium notatum telah ditemukan oleh Alexander Fleming pada tahun 1929. Adapun pada tahun 1939 oleh Rene Dubois mengisolasi dua antibiotic gramisidin dan tirosidin modern yang pertama dan tergolong luas penggunaannya. Penisilin dihasilkan selama pertumbuhan dan metabolism cendawan tertentu, yaitu Penicillium notatum danPenicillium Chrysogenum. Senyawa antibiotic yang dihasilkan jamur ini sangat efektif terhadap bekteri gram positif, khususnya pneumokokus dan beberapa stafilokokus. Beberapa bakteri gram negative,spiroketa yang merupakanpenyebab sifilis.

Setelah antibiotic penisilin ditemukan, banyak penyakit yang disebabkan oleh infeksi kuman yang dapat disembuhkan.Namun, beberapa jenis bakteri lain menghasilkan enzim yang dapat menghambat kerja penisilin sehingga tahan terhadap penisilin.Akibatnya, beberapa penyakit yang disebabkan oleh bakteri tersebut tidak dapat sembuh. Kerena itu, para ahli berusaha menemukan obat lain pembasmi bakteri yang kebal terhadap penisilin. Jenis antibiotic lain yang dihasilkan oleh jamur/cendawan, antara lain : sefalosporin dan streptomisin.

Sefalosporin merupakan sekelompok antibiotic yang dihasilkan oleh suatu spesies cendawan laut, Cephalosporium Acremonium. Antibiotik ini aktif tehadap banyak bakteri gram positif dan negative serta tidak dapat dirusak oleh penisilinase. Yaitu enzim yang terdapat dalam bakteri yang mampu merusak penisilin. Streptomisin dihasilkan oleh Streptomyces Griseus, yaitu bakteri tanah yang diisolasikan oleh Walksman dan teman-temannya. Antibiotikini efektif terhadap banyak bakteri gram positif dan gram negative yang pathogen dan Mycobacterium Tuberculosis. Oleh karena itu, Streptomisin menjadi antibiotic untama untuk penderita TBC seebagai KOMOTERAPI. Akan tetapi, beberapa bakteri dapat dengan cepat menjadi resistan dan meningkat toksisitasnya jika penggunaan antibiotic berlangsung dalam waktu lama. Meskipun demikian, streptomisin tetap dianggap sebagai obat utama dalam penggobatan tuberculosis.

Aplikasi dari bioteknologi medis ini sudah berlangsung lama, sebagai contoh 100 tahun lalu lintah umum digunakan untuk merawat penyakit dengan cara membiarkan lintah menyedot darah pasien (bloodletting). Hal ini dipercaya dapat menghilangkan darah yang sudah terjangkit penyakit. Pada zaman sekarang, lintah ditemukan memiliki enzim pada kelenjar salivanya yang dapat menghancurkan gumpalan darah yang bila tidak dihancurkan dapat menyebabkan strok dan serangan jantung. 

Sel punca

Sel punca adalah jenis sel khusus dengan kemampuan membentuk ulang dirinya dan dalam saat yang bersamaan membentuk sel yang terspesialisasi. Aplikasi Terapeutik Sel Stem Embrionik pada Berbagai Penyakit Degeneratif. Dalam Cermin Dunia Kedokteran, meskipun kebanyakan sel dalam tubuh seperti jantung maupun hati telah terbentuk khusus untuk memenuhi fungsi tertentu, stem cell selalu berada dalam keadaan tidak terdiferensiasi sampai ada sinyal tertentu yang mengarahkannya berdiferensiasi menjadi sel jenis tertentu. Kemampuannya untuk berproliferasi bersamaan dengan kemampuannya berdiferensiasi menjadi jenis sel tertentu inilah yang membuatnya unik . Karakteristik biologis dan diferensiasi stem cell fokus pada mesenchymal stem cell. Cermin Dunia Kedokteran

Aplikasi dari sel punca diantaranya adalah pengobatan infark jantung yaitu menggunakan sel punca yang berasal dari sumsum tulang untuk mengganti sel-sel pembuluh yang rusak (neovaskularisasi). Aplikasi terapeutik sel stem embrionik pada berbagai penyakit degeneratif. Cermin Dunia Kedokteran . Selain itu, sel punca diduga dapat digunakan untuk pengobatan diabetes tipe I dengan cara mengganti sel pankreas yang sudah rusak dengan sel pankreas hasil diferensiasi sel punca. Hal ini dilakukan untuk menghindari reaksi penolakan yang dapat terjadi seperti pada transplantasi pankreas dari binatang. Sejauh ini percobaan telah berhasil dilakukan pada mencit.

  

Pengelolaan Lingkungan 

Bioteknologi membuka peluang baru dalam perlindungan lingkungan. Contohnya, bakteri yang dimodifikasi secara genetik bisa digunakan untuk mengubah sampah organik menjadi produk yang berguna atau untuk membersihkan tumpahan minyak.

Produksi Makanan 

Produksi makanan adalah satu bidang lagi di mana bioteknologi memainkan perang penting dengan menyediakan bahan makanan, vitamin, kultur biang dan enzim untuk mengolah makanan yang lebih banyak dan lebih berkualitas.

Pertanian 

Sekarang para ilmuwan mampu meningkatkan tampilan buah dan sayuran, memperpanjang waktu makanan dapat disimpan, meningkatkan kandungan nutrisi tanaman serta tanaman yang tahan penyakit dan hama. Di masa mendatang, para ahli bioteknologi berharap mampu menghasilkan tanaman yang tahan terhadap kondisi buruk iklim seperti kering, panas tinggi ataupun dingin, sehingga menjadikan petani dapat memanfaatkan tanah yang sebelumnya jarang diusahakan. Teknik perbanyakan mikro - di mana tanaman ditumbuhkan dari satu sel atau bagian tanaman - telah dipakai di banyak rumah penyemaian tanaman untuk menghasilkan tanaman yang identik dalam waktu cepat. 

Itulah sedikit dari berbagai Manfaat Bioteknologi.

Manfaat Biteknologi dalam Mengatasi Problem Lingkungan

Problem lingkungan yang utama adalah masalah pencemaran. Bioteknologi berperan penting dalam mencegah dan mengatasi berbagai masalah pencemaran lingkungan, yaitu:

• Untuk mencegah atau mengurangi pencemaran, prinsip bioteknologi digunakan dalam menemukan dan menghasilkan energi ramah lingkungan seperti bioetanol, biodiesel dan biogas.
• Sementara itu, untuk mengatasi pencemaran, prinsip biteknologi menawarkan teknologi pengolahan berbagai limbah industri melalui teknologi bioremediasi.

Manfaat Bioteknologi dalam Bidang Sosial

Nah, bagaimana dengan fungsi bioteknologi dalam bidang sosial? Dalam bidang sosial bioteknologi modern diantaranya dimanfaatkan untuk mengetahui identitas dan hubungan kekerabatan manusia. Contohnya teknologi tes DNA, yang banyak digunakan untuk mengidentifikasi korban kecelakaan yang yang sudah tidak bisa diidentifikasi secara fisik, mengetahui identitas pelaku kejahatan, memastikan hubungan kekerabatan dan lain-lain.

Read More

rumus Logaritma Matematika

PERSAMAAN RUMUS LOGARITMA MATEMATIKA

Persamaan/Rumus Logaritma. Kita jadikan saja rumus itu sebagai alat dan bahan untuk menyelesaikan masalah/soal. Dengan begitu, rumus akan terlihat kegunaannya. Jangan langsung berpikir kalau rumus itu melulu harus dihapalkan. Selain hapal, perlu juga memahami bagaimana menerapkan rumus tersebut pada soal. Begitu pun dengan rumus yang akan kita pelajari kali ini, terlihat seperti sebuah aturan yang banyak dan membosankan. Tapi tenang saja, dengan sering-sering latihan lama-kelamaan akan terbiasa dengan rumus-rumus tersebut. Mari kita perhatikan terlebih dahulu rumus-rumus logaritma.

Latihan soal












Pembuktian Rumus Logaritma

Rumus logaritma perkalian
Logaritma perkalian dua bilangan sama dengan jumlah logaritma dari masing-masing bilangan.



Bukti:



Rumus logaritma pembagian
Logaritma pembagian dua bilangan sama dengan pengurangan logaritma dari pembilang numerus oleh penyebut numerus.



Bukti:

Untuk Rumus logaritma bilangan berpangkat, mengubah bilangan poko (basis) logaritma, dan pembuktian rumus logaritma lainnya bisa adik-adik buktikan sendiri sebagai bahan latihan dan agar adik-adik juga semakin paham mengenai Persamaan logartima matematika. semoga bermanfaat

Read More