Permutasi dan Kombinasi

Permutasi adalah pengaturan elemen-elemen dari sebuah himpunan dimana urutan dari elemen elemen tersebut diperhatikan.

Secara matematik, dari sebuah himpunan yang mempunyai elemen sebanyak n, banyaknya permutasi dengan ukuran (permutasi dengan jumlah elemen) r ditulis sebagai P(n,r) atau _nP_r atau ⁿP_r.
Rumusnya adalah

P(n,r) = nPr = nPr =	n!
	(n - r)!

dimana n! (n faktorial) = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 dan 0! = 1.

Contoh, dari himpunan huruf-huruf {a,b,c}, permutasi-permutasi dengan ukuran 2 (ambil 2 elemen dari himpunan tersebut) adalah {a,b}, {b,a}, {a,c}, {c,a}, {b,c}, dan {c,b}. Perhatikan bahwa urutandari elemen-elemen itu adalah penting, dengan kata lain {a,b} adalah berbeda dengan {b,a}.
Banyaknya permutasi adalah 6.

P(3,2) = 3P2 = 3P2 =	3!
	(3 - 2)!
=	3 × 2 × 1
	1!
=	6
	1
=	6

Contoh lainnya: Berapa banyaknya cara untuk mengatur 5 buku yang berbeda di atas rak buku?

Jawaban: Di sini, n = 5 dan r = 5.
Jadi, ⁵P₅ = ^5!/_(5-5)! = ^5!/_0! = ^{(5 × 4 × 3 × 2 × 1)}/₁ = 120.

Seperti terlihat dari contoh di atas, jika n = r, rumus untuk ⁿP_r = n!.

Kombinasi adalah pengaturan elemen-elemen dari sebuah himpunan dimana urutan dari elemen elemen tersebut tidak diperhatikan.

Dari sebuah himpunan yang memiliki n elemen, banyaknya kombinasi yang berukuran (kombinasi dengan jumlah elemen) r ditulis sebagai C(n,r) atau _nC_r atau ⁿC_r.
Rumusnya adalah

C(n,r) = nCr = nCr =	n!
	r! (n - r)!

dimana n! (n faktorial) = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 dan 0! = 1.

Contoh, dari himpunan huruf-huruf {a,b,c} kombinasi-kombinasi yang berukuran 2 (ambil 2 elemen dari himpunan tersebut) adalah {a,b}, {a,c}, and {b,c}. Perhatikan bahwa urutan dari elemen-elemen itu tidak penting, dengan kata lain {b,a} adalah dianggap sama dengan {a,b}.
Banyaknya kombinasi adalah 3.

C(3,2) = 3C2 = 3C2 =	3!
	2! (3 - 2)!
=	3 × 2 × 1
	2 × 1 × 1!
=	6
	2
=	3

Contoh lainnya: Sebuah keranjang berisi sebuah apel, sebuah jeruk, sebuah jambu, dan sebuah pisang. Berapa banyaknya kombinasi yang terdiri dari 3 macam buah?

Jawaban: Di sini, n = 4 dan r = 3.
Jadi, ⁵C₅ = ^4!/_3!(4-3)! = ^{(4 × 3 × 2 × 1)}/_{(3 × 2 × 1) 1!} = ²⁴/₆ = 4.

Untuk kombinasi, jika n = r, banyaknya kombinasi selalu 1  

PERBEDAAN PERMUTASI DAN KOMBINASI

Pada permutasi urutan obyek XYZ; XZY; ZYX adalah berbeda, tetapi untuk kombinasi urutan tersebut dianggap sama. Dengan demikian kombinasi merupakan cara pemilihan obyek yang bersangkutan dengan tidak memperhatikan urutan dari obyek tersebut. Untuk menghitung banyaknya hasil kombinasi dari obyek dapat diformulasikan : nCx = (n!)/(x!(n-x)!) ; dimana n : banyaknya seluruh obyek yang ada, dan x : banyaknya obyek yang dikombinasikan.

Nilai x < n dan jika x = n formulasi tersebut menjadi nCn = 1. 

Contoh lain kombinasi :

Suatu warna tertentu dibentuk dari campuran 3 warna yang berbeda. Jika terdapat 4 warna, yaitu Merah, Kuning, Biru dan Hijau, maka berapa kombinasi tiga jenis warna yang dihasilkan.

Jawab : nCx = (n!)/(x!(n-x)!) ; 4C3 = (4!)/(3!(4-3)!) = 24/6 = 4 macam kombinasi (MKB, MKH, KBH, MBH). 

Dalam suatu pertemuan terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar mereka saling kenal maka mereka saling berjabat tangan. Berapa banyaknya jabat tangan yang terjadi.

Jawab : 10C2 = (10!)/(2!(10-2)!) = 45 jabat tangan 

Semoga bermanfaat..!!

Read More

rumus Logaritma Matematika

PERSAMAAN RUMUS LOGARITMA MATEMATIKA

Persamaan/Rumus Logaritma. Kita jadikan saja rumus itu sebagai alat dan bahan untuk menyelesaikan masalah/soal. Dengan begitu, rumus akan terlihat kegunaannya. Jangan langsung berpikir kalau rumus itu melulu harus dihapalkan. Selain hapal, perlu juga memahami bagaimana menerapkan rumus tersebut pada soal. Begitu pun dengan rumus yang akan kita pelajari kali ini, terlihat seperti sebuah aturan yang banyak dan membosankan. Tapi tenang saja, dengan sering-sering latihan lama-kelamaan akan terbiasa dengan rumus-rumus tersebut. Mari kita perhatikan terlebih dahulu rumus-rumus logaritma.

Latihan soal












Pembuktian Rumus Logaritma

Rumus logaritma perkalian
Logaritma perkalian dua bilangan sama dengan jumlah logaritma dari masing-masing bilangan.



Bukti:



Rumus logaritma pembagian
Logaritma pembagian dua bilangan sama dengan pengurangan logaritma dari pembilang numerus oleh penyebut numerus.



Bukti:

Untuk Rumus logaritma bilangan berpangkat, mengubah bilangan poko (basis) logaritma, dan pembuktian rumus logaritma lainnya bisa adik-adik buktikan sendiri sebagai bahan latihan dan agar adik-adik juga semakin paham mengenai Persamaan logartima matematika. semoga bermanfaat

Read More

Rumus-Rumus Trigonometri (Matematika)

A. Bentuk Umum

B. Sudut-Sudut Istimewa

C. Hubungan Sudut Berelasi antara Sin, Cos dan Tangen



D. Rumus-rumus Trigonometri

1. Aturan sinus


2. Aturan Cosinus


3. Luas Segitiga ABC


4. Jumlah dan Selish Dua Sudut



5. Sudut 2A (Sudut Kembar)


6. Hasil Kali Dua Fungsi Trigonometri


7. Jumlah Selisih Dua Fungsi Trigonometri


8. Persamaan Trigonometri


9. Bentuk a Cos x + b Sin x


10. Bentuk a Cos x + b Sin x = c

11. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi f(x) =a Cos x + b Sin x 

Read More

Diagram Alur Kesebangunan dan Kekongruenan

Diagram Alur Kesebangunan dan Kekongruenan – Berbicara tentang matematika kita pahami bersama bahwa kita akan berurusan dengan yang namanya bidang datar.

Sebangun dan kongruen memiliki perbedaan dan juga memiliki syarat tertentu agar bisa dikatan sebangun atau kongruen

Kongruen memiliki sifat tertentu sedangkan sebangun tidak memilikinya.

Diagram Alur Kesebangunan dan Kekongruenan

 

Itulah Diagram Alur Kesebangunan dan Kekongruenan semoga bisa membantu anda. Terima kasih

Read More

Syarat – Syarat Kesebangunan Segitiga – Di ilmu matematika kita mengenal yang namanya bangun segitiga, segitiga terdiri atas berbagai macam jenis jenis seperti segitiga sama kaki dan segitiga sama sisi.

Materi tentang syarat – syarat kesebangunan segitiga ini saya dapatkan dan baca di buku kelas IX (Sembilan).

Lalu apa saja syarat dari kesebangunan segitiga?

Salah satu syaratnya adalah perbandingan antara sisi-sisi segitiga yang bersesuaian sama, selengkapnya lihat tabel di bawah ini:

 

Syarat – Syarat Kesebangunan Segitiga

Salah satu gambar segitiga. Apakah sebangun atau tidak?

Unsur-Unsur yang Diketahui Pada Segitiga	Syarat Kesebangunan
Sisi-sisi-sisi (s.s.s)	Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama
Sudut-sudut-sudut (sd.sd.sd)	Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
Sisi-sudut-sisi (s.sd.s)	Dua sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang sama dan sudut bersesuaian yang diapit sama besar

Itulah Syarat – Syarat Kesebangunan Segitiga yang biasa digunakan untuk menyelesaikan persoalan matematika. Semoga bisa membantu

Read More

Rumus PRISMA Tegak Segi Banyak (Segi-N)

Rumus PRISMA Tegak Segi Banyak (Segi-N) – Prisma adalah satu bangun ruang yang juga di bahas di dalam ilmu matematika, beberapa jenis prisma yang saya ketahui antara lain prisma tegak segitiga dan juga prisma sebarang, namun yang akan saya jelaskan disini hanyalah pada rumus prisma segi banyak atau bisa juga disebut dengan Segi-N. Prisma tegak segi banyak dihasilkan oleh rangkaian dari n prisma tegak segitiga sembarang.

Nah, langsung saja perhatikan rumus berikut:

jadi, volume prisma segi banyak adalah Volume = a x t

Dimana: a adalah luas alas prisma.

Baik, semoga Rumus PRISMA Tegak Segi Banyak (Segi-N) ini dapat membantu anda untuk menjawab soal-soal yang berhubungan dengan prisma tegak segi banyak.

Read More

Kumpulan Contoh Soal Matematika Turunan

Kumpulan Contoh Soal Matematika Turunan – Pembelajaran matematika di sekolah maupun di perguruan tinggi akan sangat banyak kita membahas yang namanya turunan, bahkan di jurusan yang saya tempati yaitu jurusan fisika kita juga banyak menggunakannya, terutama pada saat menurunkan rumus-rumus umum tertentu.  Memahami bagaimana menurunkan sebuah persamaan terhadap variabel-variabel yang dimilikinya akan sangat bermanfaat. Yang paling sering digunakan adalah turunannya terhadap x atau d/dx namun tergantung terhadap variabel mana yang mau kita turunkan.

Kumpulan Contoh Soal Matematika Turunan
Contoh 1 soal turunan:

Tentukan turunan dari y = 4x³ + 6x² – 8x + 7

Jawab:

y = 4x³ + 6x² – 8x + 7

y' = 12x² + 12x – 8

Contoh 2 soal turunan:

Tentukan turunan dari f(x) = 8 ⁵√{sin³ (6x – 8)}

Jawab:

f(x) = 8 ⁵√{sin³ (6x – 8)}

f(x) = 8 sin^⅗ (6x – 8)

f '(x) = 8(3/5)(6) sin^(-⅖) (6x – 8) cos (6x – 8)

f '(x) = (144/5) cos (6x – 8) / {sin^⅖ (6x – 8)}

f '(x) = (144/5) cos (6x – 8) sin^⅗ (6x – 8) / {sin^⅖ (6x – 8) sin^⅗ (6x – 8)}

f '(x) = (144/5) cos (6x – 8) sin^⅗ (6x – 8) / {sin (6x – 8)}

f '(x) = (144/5) cot (6x – 8) sin^⅗ (6x – 8)

f '(x) = (144/5) cot (6x – 8) ⁵√{sin³ (6x – 8)}

Cara cepat soal ini hanya ada di NICEinstitute.

Contoh 3 soal turunan:

Tentukan turunan dari f(x) = 2 sin 5x

Jawab:

f(x) = 2 sin 5x

f '(x) = 2(5) cos 5x

f '(x) = 10 cos 5x

Contoh 4 soal turunan:

Turunan dari fungsi f yang rumusnya f(x) = x² cos 2x adalah ….

Jawab:

f(x) = x² cos 2x

f '(x) = 2x cos 2x + x²(–2 sin 2x)

f '(x) = 2x cos 2x – 2x² sin 2x

Contoh 5:

Diketahui f(x) = sin³ (3 – 2x). Turunan pertama fungsi f '(x) = ….

Jawab:

f '(x) = sin³ (3 – 2x)

f '(x) = 3 ∙ (–2) sin² (3 – 2x) ∙ cos (3 – 2x)

f '(x) = 3 ∙ (–2) ∙ ½ ∙ 2 ∙ sin (3 – 2x) ∙ sin (3 – 2x) ∙ cos (3 – 2x)

f '(x) = –3 ∙ sin (3 – 2x) ∙ sin 2(3 – 2x); ingat: sin 2A = 2 ∙ sin A ∙ cos A

f '(x) = –3 ∙ sin (3 – 2x) ∙ sin (6 – 4x)

Contoh 6:

Jika F(x) = (x² + 6)/√x maka F '(x) = ….

Jawab:

F(x) = (x² + 6)/√x

F(x) = x√x + 6/√x

F(x) = x^(3/2) + 6x^(–½)

F(x) = (3/2)x^(½) + 6(–½)x^(–3/2)

F(x) = (3/2)√x – 3/(x√x)

Nah, itulah tadi sebanyak 6 contoh-contoh soal turunan, semoga bermanfaat yah Kumpulan Contoh Soal Matematika Turunan diatas, jangan lupa untuk berkomantar yah.

Read More

Rumus Volume Luas dan Diagonal Kubus

Rumus Volume Luas dan Diagonal Kubus – Kubus dalam matematika adalah salah satu bangun ruang berbentuk kotak yang sempurna dimana semua sisinya sama panjang, nah jika sisi-sisinya tidak sama panjang maka benagun ruang tersebut tidak dinamakan balok melainkan dinamakan dengan balok. Sama seperti balok es batu yang biasa digunakan oleh penjual ikan untuk mendinginkan ikannya nah. Nah untuk menghitung nilai volume dari kubus digunakan rumus sebagai berikut, silahkan disimak penjelasannya.

Rumus Matematika Volume Luas dan Diagonal Kubus.

Kubus adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh enam bidang sisi yang berbentuk bujur sangkar. Kubus memiliki 6 sisi, 12 rusuk dan 8 titik sudut. Kubus juga disebut bidang enam beraturan. Sebelum kita menuju ke rumus mencari volume kubus silahkan lihat terlebih dahulu contoh kubus berikut ini.

Dimana S adalah sisi – sisi dari kubus tersebut

Rumus Luas Kubus.

Untuk menghitung luas kubus maka kita menggunakan rumus berikut:
Dengan L = luas kubus satuan panjang kuadrat

Rumus Volume Kubus

Sedangkan untuk menghitung volume kubus kita bisa menggunakan rumus

 Dimana V adalah volume dengan satuan kubik

Rumus Diagonal Ruang

Nah, itulah tadi ada tiga rumus yang saya berikan yaitu tentang  Rumus Volume Luas dan Diagonal Kubus semoga bisa membantu untuk menyelesaikan soal matematika yah.

Read More

Rumus Mencari Tinggi Tabung

Rumus Mencari Tinggi Tabung – Bagaimana untuk mencari tinggi tabung, kita tahu bahwa rumus-rumus yang kita ketahui untuk tabung hanyalah rumus mencari volume tabung nah, bagaimana jika kita mendapati soal-soal yang berhubungan dengan tabung namun yang disuruh cari atau yang ditanyakan dari soal matematika tersebut adalah tinggi dari tabung dan bukan volume tabung. Nah sebenanrnya ini adalah persoalan matematika sederhana untuk mengubah persaman yang telah ada ke persamaan baru untu mencari nilai sebuah konstanta. Berikut cara mencari tinggi tabung, sebelumnya perhatikan dulu gambar tabung di bawah ini supaya kita lebih memahaminya:

Rumus Mencari Tinggi Tabung:

Kita pahami bersama bahwa rumus mencari volume tabung adalah:

Nah, apabila kita memahami pelajaran kalkulus 1 (kita pelajari di semester 1 saat kuliah) karena ini hanyalah persoalan matematika maka kita bisa mencari tinggi tabung dengan rumus

Dimana :
t adalah tinggi tabung (m)
phi adalah 22/7 atau 3,14
V adalah volume tabung (kubik)
dan r adalah jari jari lingkaran pada tabung.

Bagaimana, sangat mudah bukan Rumus Mencari Tinggi Tabung nah jika ada yang belum dipahami atau masih abu-abu silahkan tinggalkan komentar kamu di bawah ini, bisa menggunakan komentar facebook kok. Selamat belajar!

Read More

Rumus Keliling Lingkaran

Rumus Keliling Lingkaran – Lingkaran, berbicara mengenai salah satu bangun datar yang satu ini, akan mendatangkan banyak manfaat bagi kita jika kita dapat memahami rumus-rumus dan persamaan yang dapat kita gunakan untuk menghitung lingkaran. Seperti menghitung rumus luas lingkaran dan menghitung keliling lingkaran. Nah, semua itu merupakan persamaan mendasar dalam matematika yang sebaiknya kita pahami untuk menuju ke jenjang materi lainnya yang berhubungan erat dengan lingkaran. Berikut rumus daripada lingkaran itu sendiri:

Rumus Keliling Lingkaran:

Itulah persamaan keliling lingkaran dimana:

K = Keliling lingkaran
= Phi (22/7 atau 3,14)
R = Jari-jari lingkaran
d = diameter lingkaran

Karena nilai dari 2R sama dengan D(diameter lingkaran) maka persamaan diatas bisa kita tuliskan dengan:

 
Nah, nilai dari phi sendiri itu (dari wikipedia) adalah suatu besaran yang merupakan sifat khusus dari lingkaran, yaitu perbandingan dari keliling K dengan diameternya D dimana:Untuk lebih memahami rumus tersebit silahkan lihat ilustrasi lingkaran berikut ini: baca juga rumus luas lingkaran
Bagaimana, sudah paham bukan tentang rumus keliling lingkaran tersebut, silahkan apabila ada koreksi dan pertanyaan tuangkan semuanya di kotak komentar di bawah ini. Selamat belajar.

Read More

Rumus Bangun Datar Layang – Layang

Rumus Bangun Datar Layang – Layang – Bangun datar layang – layang memiliki bentuk tentu saja seperti layang – layang yang biasa ddimainkan ketika kecil dulu, tapi jangan salah menerka, karena bangan datar Belah ketupat memiliki bentuk yang sama dengan bangun layang-layang ini. Berikut ini rumus matematika layang-layang yaitu rumus luas dan rumus keliling yang umum berlaku :

Rumus Luas Layang – Layang

L = 1/2 x d1 x d2

Rumus Keliling bangun Layang-layang

K = 2.S1 + 2.S2

Keterangan :

L = Luas layang-layang

K = Keliling layang-layang

d1 = Diagonal 1

d2 = Diagonal 2

S1 = Sisi layang-layang 1

S2 = Sisi layang-layang 2

Perhatikan contoh gambar layang-layang berikut.

Gambar Layang-layang

Coba perhatikan gambar di atas, yang disebut sebagai sisi layang-layang itu adalah s1 dan s2. s1 dan s2 sama2 mempunyai pasangan dengan panjang yang sama. Yang disebut diagonalnya yaitu d1 dan d2, perhatikan gambar : d1 adalah diagonal vertikal dan d2 adalah diagonal horizontal. Nah untuk mengeuji pemahaman kita mengenai Rumus Bangun Datar Layang – Layangu silahkan jawab pertanyaan berikut ini mengenai bangun layang-layang

Jawablah Contoh Soal Layang-layang di bawah !

1. Diketahui panjang diagonal suatu layang-layang d1 dan d2 adalah 4cm dan 6cm, hitunglah luas layang-layang yang dimaksud ?
   
2. Dari soal nomor 1, hitunglah panjang sisi layang-layang secara keseluruhan jika panjang salah satu sisi adalah 3 cm ?

Semoga bisa dijawab yah soal tersebut diatas, gunakan Rumus Bangun Datar Layang – Layang yang tersebut diatas. good luck yah rumus matematika itu

Read More

Rumus Luas dan Volume Bola

Rumus Luas dan Volume Bola – Bola memiliki luas dan tentunya volume bola, nah ada rumus matematika yang digunakan untuk menghitung luas dan volume bola. Sebuah bola yang berjari-jari R memiliki luas permukaan:


Luas bola = 4πR²

sedangkan volumenya adalah
Volume bola = (4/3) πR³

Memang, ada hal yang mengherankan di sini, kenapa jika volume bola diturunkan terhadap jari-jari maka rumus ini berubah menjadi rumus luas permukaan bola.

Sekan rumus matematika mengenai Rumus Luas dan Volume Bola, semoga bisa bermanfaat yah sobat garda pengetahuan.

Read More

Rumus Luas Segitiga

Rumus Luas Segitiga – Luas segitga adalah luas yang mencakup isi dari segitiga tersebut, rumus untuk menentukan luas segitiga adalah sebagai berikut: Matematika

I. RUMUS UMUM LUAS SEGITIGA

Gambar tersebut adalah segitiga Siku-siku

Dari segitiga siku-siku di atas maka yang sisi alas adalah b, tinggi segitiga adalah a dan sisi miring adalah c. Sehingga persamaan dari rumus segitiga di atas adalah :

Rumus luas segitiga adalah = 1/2 alas x tinggi

atau

L = 1/2 a b

Ingat rumus luas segitiga di atas hanya berlaku jika segitiga mempunyai sudut siku-siku ( 90 derajat ). Perhatikan bentuk segitiga di atas dan coba amati persamaan rumusnya. Jika anda jeli maka anda dapat menarik kesimpulan bahwasanya utntuk mencari luas segitiga siku seperti di atas sama halnya dengan mencari setengah luas dari empat persegi panjang.

Anggap saja panjang dari empat persegi panjang tersebut adalah b dan lebar adalah a, luas persegi panjang adalah a x b. Karena segitiga tersebut adalah mempunyai luas sebesar setengah kali dari luas persegi panjang maka didapatlah formula 1/2 x alas x tinggi. Rumus Luas Segitiga

II. RUMUS LUAS UNTUK SEGITIGA SAMA KAKI

Segitiga Sama Kaki

Dik : Segitiga sama kaki ABC

alas = Panjang AB = a
tinggi = panjang garis tegak = t
Dit : L (luas segitiga) ?
Maka,
L = a x t
atau,

L = 2 x (1/2 a x t), rumus ini didapat jika anda mencari luas salah satu segitiga sama kaki yang dibelah. Setelah luas salah satu segitiga didapat maka karena ada dua segitiga yang sama, anda tinggal mengalikan dengan 2.

Untuk mencari tinggi segitiga sama kaki anda dapat menggunakan rumus pythagoras, slahkan baca tentang teorema phytagoras dan juga rumus phytagoras

III. RUMUS LUAS UNTUK SEGITIGA SAMA SISI

Segitiga Sama Sisi

Dari gambar segitiga sama sisi di atas maka dapat ditentukan rumus luasnya adalah :

Rumus luas segitiga adalah =

L = s x tinggi

atau

IV. RUMUS LUAS SEGITIGA SEMBARANG

Segitiga Sembarang

Dik :

a, b, c = ketiga sisi segitiga

Dit :

Luas Segitiga ?

Maka,

Rumus Luas Segitiga, nah itulah Rumus Luas Segitiga, semoga bisa bermanfaat yah sobat.

Read More