Operasi Penjumlahan dan Perasionalan Pada Pecahan

Masih ingat bentuk berikut :
3² = 3 x 3
2³ = 2 x 2 x 2
5⁶ = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
Demikian seterusnya sehingga diperoleh bentuk umum sebagai berikut.

Dengan a bilangan bulat dan n bilangan bulat positif Dari pengertian di atas akan diperoleh sifat-sifat berikut.

Sifat 1
aⁿ x aⁿ = a^{m + n} 
2⁴ x 2³ = (2 x 2 x 2 x 2 )x(2 x 2 x 2 )
           = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
           = 27
           = 2⁴⁺³

Sifat 2
a^m : aⁿ = a^{m - n}, m > n
5⁵ : 5³ = (5 x 5 x 5 x 5 x 5) : (5 x 5 x 5)
           = 5 x 5
           = 52
           = 5^{5 - 3}

Sifat 3
(a^m)ⁿ = a^{m x n}
(3⁴)² = 3⁴ x 3⁴
       = (3 x 3 x 3 x 3) x (3 x 3 x 3 x 3)
       = (3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3)
       = 38
       = 3^{4 x 2}

Sifat 4
(a x b)^m = a^m x b^m
(4 x 2)³ = (4 x 2) x (4 x 2) x (4 x 2)
           = (4 x 4 x 4) x (2 x 2 x 2)
           = 4³ x 2³

Sifat 5
(a : b)^m = a^m : b^m
(6 : 3) ⁴ = (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3)
            = (6 x 6 x 6 x 6) : (3 x 3 x 3 x 3)
            = 6⁴ : 3⁴

Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Negatif

Dari pola bilangan itu dapat disimpulkan bahwa 2⁰ = 1 dan 2^-n = ¹/_2ⁿ , secara umum dapat ditulis :

Pecahan Berpangkat Bilangan Bulat
Kita telah mengetahui bahwa pecahan adalah bilangan dalam bentuk dengun a dan b bilangan bulat (b ≠ 0). Bagaimanakah jika pecahan dipangkatkan dengan bilangan bulat? Untuk menentukan hasil pecahan yang dipangkatkan dengan bilangan bulat, caranya sama dengan menentukan hasil bilangan bulat yang dipangkatkan dengan bilangan bulat.

Contoh:
Tentukan hasil berikut ini!

 (¹/₂)⁵
Jawab :

Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan

Bilangan Rasional dan Irasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk ^a/_b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan rasional merupakan gabungan dari bilangan bulat, nol, dan pecahan. Contoh bilangan rasional adalah -5, ^-1/₂, 0, 3, ³/₄, dan ⁵/_9.

Sebaliknya, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk ^a/_b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.
Contoh bilangan irasional adalah . Bilangan-bilangan tersebut, jika dihitung dengan kalkulator merupakan desimal yang tak berhenti atau bukan desimal yang berulang. Misalnya 

√2 = 1,414213562 .... Selanjutnya, gabungan anrara bilangan rasional dan irasional disebut bilangan real.

Bentuk Akar

Berdasarkan pembahasan sebelumnya, contoh bilangan irasional adalah √2 dan √5 . Bentuk seperti itu disebut bentuk akar. Dapatkah kalian menyebutkan contoh yang lain?

Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan Rasional.

Bentuk akar dapat disederhanakan menjadi perkalian dua buah akar pangkat bilangan dengan salah satu akar memenuhi definisi
√a² = a jika a ≥ 0, dan –a jika a < 0

Contoh :
Sederhanakan bentuk akar berikut √75
Jawab :
√75 = √25x3 = √25 x √3 = 5√3

Mengubah Bentuk Akar Menjadi Bilangan Berpangkat Pecahan dan Sebaliknya

Bentuk √a dengan a bilangan bulat tidak negatif disebut bentuk akar kuadrat dengan syarat tidak ada bilangan yang hasil kuadratnya sama dengan a. oleh karena itu √2,√3, √5, √10, √15 dan √19 merupakan bentuk akar kuadrat. Untuk selanjutnya, bentuk akar ⁿ√a^m dapat ditulis a^m/n(dibaca: a pangkat m per n). Bentuk a^m/n disebut bentuk pangkat pecahan.

contoh :
 

jawab :

Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

Penjumlahan dan Pengurangan

Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan jika memiliki suku-suku yang sejenis.

kesimpulan :
jika a, c = Rasional dan b ≥ 0, maka berlaku 

a√b + c√b = (a + c)√b

a√b - c√b = (a - c)√b

Perkalian dan Pembagian

Contoh :
Tentukan hasil operasi berikut :

jawab :

Perpangkatan

Kalian tentu masih ingat bahwa (a^)" = a^'. Rumus tersebut juga berlaku pada operasi perpangkatan dari akar suatu bilangan.
Contoh:

Operasi Campuran

Dengan memanfaatkan sifat-sifat pada bilangan berpangkat, kalian akan lebih mudah menyelesaikan soal-soal operasi campuran pada bentuk akarnya. Sebelum melakukan operasi campuran, pahami urutan operasi hitung berikut.

• Prioritas yang didahulukan pada operasi bilangan adalah bilangan-bilangan yang ada dalam tanda kurung.
• Jika tidak ada tanda kurungnya maka

1. pangkat dan akar sama kuat;
2. kali dan bagi sama kuat;
3. tambah dan kurang sama kuat, artinya mana yang lebih awal dikerjakan terlebih dahulu;
4. kali dan bagi lebih kuat daripada tambah dan kurang, artinya kali dan bagi dikerjakan terlebih dahulu.

Contoh :

Merasionalkan Penyebut

Dalam perhitungan matematika, sering kita temukan pecahan dengan penyebut bentuk akar, misalnya 

Agar nilai pecahan tersebut lebih sederhana maka penyebutnya harus dirasionalkan terlebih dahulu. Artinya tidak ada bentuk akar pada penyebut suatu pecahan. Penyebut dari pecahan-pecahan yang akan dirasionalkan berturut-turut adalah 

Merasionalkan penyebut adalah mengubah pecahan dengan penyebut bilangan irasional menjadi pecahan dengan penyebut bilangan rasional.

Penyebut Berbentuk √b

Jika a dan b adalah bilangan rasional, serta √b adalah bentuk akar maka pecahan ^a/_√b dapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan ^√b/_√b .
 

Contoh :
Sederhanakan pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya!

jawab :

Penyebut Berbentuk (a+√b) atau (a+√b)

Jika pecahan-pecahan mempunyai penyebut berbentuk (a+√b) atau (a+√b) maka pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan sekawannya. Sekawan dari (a+√b) adalah (a+√b) adalah dan sebaliknya.
Bukti

Contoh :

Rasionalkan penyebut pecahan berikut.

jawab :

 

Penyebut Berbentuk (√b+√d) atau (√b+√d)

Pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bentuk akar sekawannya, yaitu sebagai berikut.

Contoh:

Selesaikan soal berikut!

Jawab :

Referensi

• Tiga Serangkai
• http://bebas.vlsm.orgMasih ingat bentuk berikut :
  3² = 3 x 3
  2³ = 2 x 2 x 2
  5⁶ = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
  Demikian seterusnya sehingga diperoleh bentuk umum sebagai berikut.
  
  Dengan a bilangan bulat dan n bilangan bulat positif Dari pengertian di atas akan diperoleh sifat-sifat berikut.
  Sifat 1
  aⁿ x aⁿ = a^{m + n} 
  2⁴ x 2³ = (2 x 2 x 2 x 2 )x(2 x 2 x 2 )
             = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
             = 27
             = 2⁴⁺³
  Sifat 2
  a^m : aⁿ = a^{m - n}, m > n
  5⁵ : 5³ = (5 x 5 x 5 x 5 x 5) : (5 x 5 x 5)
             = 5 x 5
             = 52
             = 5^{5 - 3}
  Sifat 3
  (a^m)ⁿ = a^{m x n}
  (3⁴)² = 3⁴ x 3⁴
         = (3 x 3 x 3 x 3) x (3 x 3 x 3 x 3)
         = (3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3)
         = 38
         = 3^{4 x 2}
  Sifat 4
  (a x b)^m = a^m x b^m
  (4 x 2)³ = (4 x 2) x (4 x 2) x (4 x 2)
             = (4 x 4 x 4) x (2 x 2 x 2)
             = 4³ x 2³
  Sifat 5
  (a : b)^m = a^m : b^m
  (6 : 3) ⁴ = (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3)
              = (6 x 6 x 6 x 6) : (3 x 3 x 3 x 3)
              = 6⁴ : 3⁴

  Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Negatif

  
  Dari pola bilangan itu dapat disimpulkan bahwa 2⁰ = 1 dan 2^-n = ¹/_2ⁿ , secara umum dapat ditulis :
  
  Pecahan Berpangkat Bilangan Bulat
  Kita telah mengetahui bahwa pecahan adalah bilangan dalam bentuk dengun a dan b bilangan bulat (b ≠ 0). Bagaimanakah jika pecahan dipangkatkan dengan bilangan bulat? Untuk menentukan hasil pecahan yang dipangkatkan dengan bilangan bulat, caranya sama dengan menentukan hasil bilangan bulat yang dipangkatkan dengan bilangan bulat.
  Contoh:
  Tentukan hasil berikut ini!
   (¹/₂)⁵
  Jawab :
  

  Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan

  Bilangan Rasional dan Irasional

  Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk ^a/_b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan rasional merupakan gabungan dari bilangan bulat, nol, dan pecahan. Contoh bilangan rasional adalah -5, ^-1/₂, 0, 3, ³/₄, dan ⁵/_9.
  Sebaliknya, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk ^a/_b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.
  Contoh bilangan irasional adalah . Bilangan-bilangan tersebut, jika dihitung dengan kalkulator merupakan desimal yang tak berhenti atau bukan desimal yang berulang. Misalnya 
  √2 = 1,414213562 .... Selanjutnya, gabungan anrara bilangan rasional dan irasional disebut bilangan real.

  Bentuk Akar

  Berdasarkan pembahasan sebelumnya, contoh bilangan irasional adalah √2 dan √5 . Bentuk seperti itu disebut bentuk akar. Dapatkah kalian menyebutkan contoh yang lain?
  Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan Rasional.
  Bentuk akar dapat disederhanakan menjadi perkalian dua buah akar pangkat bilangan dengan salah satu akar memenuhi definisi
  √a² = a jika a ≥ 0, dan –a jika a < 0
  Contoh :
  Sederhanakan bentuk akar berikut √75
  Jawab :
  √75 = √25x3 = √25 x √3 = 5√3

  Mengubah Bentuk Akar Menjadi Bilangan Berpangkat Pecahan dan Sebaliknya

  Bentuk √a dengan a bilangan bulat tidak negatif disebut bentuk akar kuadrat dengan syarat tidak ada bilangan yang hasil kuadratnya sama dengan a. oleh karena itu √2,√3, √5, √10, √15 dan √19 merupakan bentuk akar kuadrat. Untuk selanjutnya, bentuk akar ⁿ√a^m dapat ditulis a^m/n(dibaca: a pangkat m per n). Bentuk a^m/n disebut bentuk pangkat pecahan.
  contoh :
   
  jawab :
  

  Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

  Penjumlahan dan Pengurangan

  Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan jika memiliki suku-suku yang sejenis.
  
  
  kesimpulan :
  jika a, c = Rasional dan b ≥ 0, maka berlaku 
  a√b + c√b = (a + c)√b
  a√b - c√b = (a - c)√b

  Perkalian dan Pembagian

  Contoh :
  Tentukan hasil operasi berikut :
  
  jawab :
  

  Perpangkatan

  Kalian tentu masih ingat bahwa (a^)" = a^'. Rumus tersebut juga berlaku pada operasi perpangkatan dari akar suatu bilangan.
  Contoh:
  

  Operasi Campuran

  Dengan memanfaatkan sifat-sifat pada bilangan berpangkat, kalian akan lebih mudah menyelesaikan soal-soal operasi campuran pada bentuk akarnya. Sebelum melakukan operasi campuran, pahami urutan operasi hitung berikut.
  • Prioritas yang didahulukan pada operasi bilangan adalah bilangan-bilangan yang ada dalam tanda kurung.
  • Jika tidak ada tanda kurungnya maka
  1. pangkat dan akar sama kuat;
  2. kali dan bagi sama kuat;
  3. tambah dan kurang sama kuat, artinya mana yang lebih awal dikerjakan terlebih dahulu;
  4. kali dan bagi lebih kuat daripada tambah dan kurang, artinya kali dan bagi dikerjakan terlebih dahulu.
  Contoh :
  

  Merasionalkan Penyebut

  Dalam perhitungan matematika, sering kita temukan pecahan dengan penyebut bentuk akar, misalnya 
  Agar nilai pecahan tersebut lebih sederhana maka penyebutnya harus dirasionalkan terlebih dahulu. Artinya tidak ada bentuk akar pada penyebut suatu pecahan. Penyebut dari pecahan-pecahan yang akan dirasionalkan berturut-turut adalah 
  Merasionalkan penyebut adalah mengubah pecahan dengan penyebut bilangan irasional menjadi pecahan dengan penyebut bilangan rasional.

  Penyebut Berbentuk √b

  Jika a dan b adalah bilangan rasional, serta √b adalah bentuk akar maka pecahan ^a/_√b dapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan ^√b/_√b .
   
  Contoh :
  Sederhanakan pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya!
  
  jawab :
  

  Penyebut Berbentuk (a+√b) atau (a+√b)

  Jika pecahan-pecahan mempunyai penyebut berbentuk (a+√b) atau (a+√b) maka pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan sekawannya. Sekawan dari (a+√b) adalah (a+√b) adalah dan sebaliknya.
  Bukti
  
  Contoh :
  Rasionalkan penyebut pecahan berikut.
  
  jawab :
   

  Penyebut Berbentuk (√b+√d) atau (√b+√d)

  Pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bentuk akar sekawannya, yaitu sebagai berikut.
  
  Contoh:
  Selesaikan soal berikut!
  
  Jawab :
  
  
  

  Sumber Materi

  • Tiga Serangkai
  • http://bebas.vlsm.org
  • http://www.crayonpedia.org

Read More

Tentang Alexander Graham Bell

Kali ini horison pengetahuan akan membahas seorang tokoh ilmu pengetahuan yang hebat yaituAlexander Graham Bell. Alexander Graham Bell lahir di Edinburgh, Skotlandia. Ia datang dari sebuah keluarga yang berkaitan dengan pengajaran seni deklamasi: kakeknya di London, pamannya di Dublin, dan ayahnya, Mr Alexander Melville Bell, di Edinburgh, semua elocutionists dianut.

Yang terakhir ini telah menerbitkan berbagai pekerjaan pada subjek, beberapa yang terkenal, terutama risalah tentang Visible Speech, yang muncul di Edinburgh pada tahun 1868. Dalam hal ini ia menjelaskan metode cerdik Nya memerintahkan bisu tuli, melalui penglihatan mereka, bagaimana untuk mengartikulasikan kata-kata, dan juga bagaimana orang lain membaca apa yang dikatakan oleh gerakan bibir mereka. Graham Bell, anak dibedakan itu, dididik di Royal High School of Edinburgh, dari mana ia lulus pada usia tiga belas tahun. Pada usia enam belas dia mendapatkan posisi sebagai guru-murid dari seni deklamasi dan musik di Weston House Academy, di Elgin di Morayshire. Tahun berikutnya ia menghabiskan di Universitas Edinburgh. Dari 1866-1867 dia adalah seorang instruktur di Somersetshire College di Bath, Inggris. Sementara masih di Skotlandia ia dikatakan telah mengalihkan perhatiannya kepada ilmu akustik, dengan maksud untuk memperbaiki yang tuli ibunya.

Tak seberapa dapat pendidikan formal, tetapi diajar baik oleh keluarganya dan belajar sendiri, begitulah ihwal Alexander Graham Bell penemu tilpun yang dilahirkan tahun 1847 di Edinburg, Skotlandia. Minat Bell memproduksi kembali suara vokal timbul secara wajar karena ayahnya seorang ahli dalam hal fisiologi vokal, memperbaiki pidato dan mengajar orang-orang tuli.

Bell pernah ke Boston, negara bagian Massachusetts tahun 1871. Di sanalah pada tahun 1875 dia membuat percobaan-percobaan yang mengarah pada penemuan tilpun. Dia mengumpulkan paten untuk mengokohkan penemuannya di bulan Februari 1876 dan mendapat imbalan beberapa minggu kemudian. (Menarik sekali untuk dicatat bahwa seorang lain bernama Elisha Gray juga mengumpulkan paten penemuan untuk pengokohan mengenai peralatan serupa pada hari yang berbarengan dengan apa yang diperbuat Bell, hanya selisih beberapa jam saja).

Tak lama sesudah patennya diterima, Bell mempertontonkan tilpun di pameran 100 tahun kota Philadelphia. Penemuannya menarik perhatian besar publik dan mendapat penghargaan atas hasil karyanya. Tetapi, The Western Union Telegraph Company yang menawarkan uang sebesar $100.000 buat penemuan alat itu mengelak membayarnya. Karena itu, Bell dan kawan-kawannya, di bulan Juli 1877, mendirikan perusahaan sendiri, nenek moyang dari American Telephone and Telegraph Company sekarang. Tilpun dengan cepat dan besar-besaran mencapai sukses secara komersial. Sakarang ini AT & T merupakan perusahaan bisnis yang terbesar di dunia.

Bell dan istrinya yang di bulan Maret 1879 memegang 15 persen saham dari perusahaan itu tampaknya tak punya bayangan betapa akan fantastisnya keuntungan yang bakal diterima oleh perusahaan itu. Dalam tempo cuma tujuh bulan, mereka sudah jual sebagian besar saham mereka dengan harga rata-rata $250 per saham. Di bulan Nopember harganya sudah melesat naik jadi $1000 per saham! (Di bulan Maret itu isterinya-lah yang mendesak buru-buru jual karena dia khawatir harga saham tak akan sampai setinggi itu lagi!) Di tahun 1881 dengan gegabah mereka jual lagi sepertiga jumlah sisa saham yang mereka punyai. Meski begitu, toh dalam tahun 1883 mereka sudah bisa peroleh keuntungan seharga sekitar sejuta dolar.

Kendati penemuan tilpun sudah mengorbitkan Bell jadi kaya-raya, dia tak pernah berhenti meneruskan penyelidikannya, dan dia berhasil menemukan lagi pelbagai alat yang berguna walau tidak sepenting tilpun. Minatnya beraneka ragam, tetapi tujuan utamanya adalah menolong orang tuli. Istrinya sendiri tadinya gadis tuli yang dilatihnya sendiri. Empat anak, dua lelaki dua perempuan keluar berkat perkawinan tetapi keempatnya mati muda. Tahun 1882 Bell jadi warganegara Amerika Serikat dan mati tahun 1922.

Ukuran besar-kecilnya pengaruh Bell terletak pada penilaian besar kecilnya makna tilpun itu sendiri. Menurut hemat saya, pengaruh itu besar sekali karena tak banyak penemuan yang begitu luas digunakan orang dan begitu besar pengaruhnya dalam kehidupan sehari-hari.

Saya tempatkan Bell dalam urutan di bawah Marconi berhubung radio lebih beragam kegunaannya ketimbang tilpun. Misalnya, pembicaraan lewat tilpun dapat pada dasarnya dilakukan lewat radio, tetapi dalam beberapa hal (misalnya komunikasi dengan pesawat yang sedang terbang) tilpun tidak bisa menggantikan fungsi radio. Kalau saja cuma faktor itu semata yang jadi ukuran, Bell akan menduduki urutan jauh lebih bawah lagi daripada Marconi. Tetapi, ada dua hal yang layak dipertimbangkan. Pertama, meskipun pembicaraan tilpun pribadi bisa saja dilakukan lewat radio, akan teramat sulitlah menggantikan seluruh sistem pertilpunan kita dengan jaringan radio yang setara. Kedua, metode pokok menyalurkan kembali suara yang dirancang Bell buat penerima tilpun belakangan di ambil oper dan digunakan oleh penerima radio, piringan hitam dan pelbagai rupa peralatan lainnya. Itu sebabnya saya anggap pengaruh Bell cuma sedikit lebih kurang ketimbang Marconi.

Pada tahun 2004, Alexander Graham Bell dinominasikan sebagai salah satu dari 10 top "Greatest Kanada" oleh pemirsa dari Broadcasting Corporation Kanada.

ALEXANDER GRAHAM BELL 1847-1922

Berkat jasa-jasa beliau, kini kita menikmati era komunikasi yang sangat canggih, berkat adanya alat komunikasi seperti telepon.
Diambil dari:
Seratus Tokoh yang Paling Berpengaruh dalam Sejarah
Michael H. Hart, 1978,  Masih banyak lagi postingan mengenai profil tokoh yang berpengaruh dalam dunia pengetahuan.

Read More