Penjelasan mengenai Barisan dan Deret Geometri

Pada postingan sebelumnya terdapat pembahasan mengenai barisan dan deret aritmatika, nah kali ini postingnya membahas tentang bagian lain dari BAB Barisan dan Deret pada pembelajaran Matematika di kelas XII, semoga posting ini dapat membantu bagi teman-teman yang kesulitan dalam pembelajaran ini..

BARISAN GEOMETRI 

Barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut rasio (pembanding) dilambangkan dengan r. Jika suku pertama (U₁) dinotasikan a dan rasio dinyatakan dengan r, maka suku-suku barisan geometri dapat dituliskan sebagai berikut: a, ar, ar², ……, ar^n-1.

Sehingga suku ke-n suatu barisan geometri dirumuskan : U_n= ar^n-1
Sedangkan jika Un dibagi dengan Un-1 didapat r,
sehingga  diperoleh rumus untuk r :

DERET GEOMETRI

Jika pada barisan geometri tanda “,” diganti dengan tanda “+” maka didapat deret geometri.

Bentuk baku deret geometri adalah:  a + ar + ar² + …… + ar^n-1 . Jumlah n  suku pertama deret geometri dinyatakan dengan S_n, dan dirumuskan:

Untuk deret geometri dengan -1< r <1 dikatakan bahwa deret tersebut konvergen atau mempunyai jumlah sampai tak hingga suku.

Jumlah takhingga dilambangkan dengan S ~ dan dirumuskan :

 

DERET GEOMETRI TAK BERHINGGADeret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari

U₁ + U₂ + U₃ + ..............................
¥
å Un = a + ar + ar² .........................
n=1 
dimana n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rⁿ ® 0
Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :
Jumlah tak berhingga    S_¥ = a/(1-r)
Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1

Catatan:

a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ + .................Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil
a+ar² +ar⁴+ .......                     S_ganjil = a / (1-r²)Jumlah suku-suku pada kedudukan genap
a + ar³ + ar⁵ + ......                  S_genap = ar / 1 -r² 
Didapat hubungan : S_genap / S_ganjil = r

PENGGUNAAN

Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)

M₀, M₁, M₂, ............., M_n

M₁ = M₀ + P/100 (1) M₀ = {1+P/100(1)}M₀

M₂ = M₀ + P/100 (2) M₀ = {1+P/100(2)} M₀

.
.
.
.

M_n =M₀ + P/100 (n) M₀ ® M^_n = {1 + P/100 (n) } M₀

Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)

M₀, M₁, M₂, .........., M_n

M₁ = M₀ + P/100 . M₀ = (1 + P/100) M₀

M₂ = (1+P/100) M₀ + P/100 (1 + P/100) M₀ = (1 + P/100)(1+P/100)M₀      = (1 + P/100)² M₀.
.
.

Mn = {1 + P/100}ⁿ M₀

Keterangan :

M₀ = Modal awalM_n = Modal setelah n periodep   = Persen per periode atau suku bungan   = Banyaknya periode

Catatan:

Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p < 0).

LATIHAN SOAL

 1.   Tentukan suku yang diminta dari barisan :

      a) 1,3,9,..... suku ke-7

      b) 3,6,12,....suku ke-8

      c) 16,8,4, ... suku ke-10

2.  Tentukan rasio dan suku ke-5 dari barisan geometri jika diketahui sebagai berikut:

1. U₁ = 2,  U₃ = 8
2. U₁ = 4U_3, U₄ = ¼
3. U₁ = 36, U₂ = –12
4. U₁.U₅ = 16, U₂ + U₄ = 10
5. U₁ + U₆ = 244, U₃.U₄ = 243

 3. Carilah nilai x jika barisan berikut adalah barisan geometri.

1. x + 1, x – 1, dan x – 5
2. 2x, x² dan 8x
3. 4 + x, 3 + 3x dan 1 + 7x
4. x – 1, 2x – 8 dan 5 – x
5. 2x – 5, x – 4 dan 10 – 3x

4.  Diketahui barisan geometri : 1, 9, 81, ……. Diantara tiap dua suku berurutan disisipkan sebuah suku sehingga terbentuk barisan geometri baru.  Tentukan rasio dan suku ke-7 barisan geometri baru.

5. Suatu modal sebesar M rupiah ditabung di Bank dan mendapatkan bunga majemuk p% setiap tahun.  Tentukan modal setelah n tahun.

6. Sebuah mobil harganya Rp. 300.000.000,- setiap tahun harga mobil itu menyusut 10% dari harga tahun sebelumnya.

1. hitunglah harga mobil pada akhir tahun ke-1, 2, 3, dan 4.
2. Jika setelah n tahun harga mobil itu adalah Tn, tunjukkan bahwa Tn = Rp. 300.000.000,- x (0,9)ⁿ

7.  Pada sebuah deret geometri dibutuhkan U₁ + U₂ = 4, U_n–1 + U_n = 108 dan S_n = 121.  tentukan a dan r

8.  Diketahui bahwa jumlah n suku suatu deret adalah S_n = 3(2ⁿ – 1) 

1. Buktikan bahwa deret itu adalah deret geometri
2. Tentukan suku pertama, rasio dan suku ke-10
3. Carilah n terkecil agar jumlah n suku pertamanya lebih besar dari 104

9.  Uang sebesar Rp. 2.000.000,- diinvestasikan pada tiap awal tahun dengan mendapat bunga majemuk 12%  

    pertahun.  Hitunglah seluruh uang tersebut pada akhir tahun ketujuh. 

10.   x₁ dan x₂ adalah akar-akar bulat dari persamaan x² – (2k + 4)x + (3k + 4) = 0.  Jika x₁, k dan x₂ merupakan tiga suku pertama barisan geometri.  Tentukan jumlah ketiga bilangan tersebut.

11.  Diantara setiap dua suku berurutan pada deret geometri 7 + 28 + 112 + …… sampai 6 suku disisipkan sebuah suku sehingga diperoleh deret geometri baru.  Hitunglah jumlah suku-suku yang disisipkan.